Логика и теория множеств 3    Математическая логика 1    Теория множеств 1    Теория алгоритмов 1    Алгебра и арифметика 12    Арифметика. Устный счет и т.п 2    Текстовые задачи 7    Дроби 2    Многочлены 1    Теория чисел. Делимость 3    Алгебраические неравенства и системы неравенств 3    Геометрия 4    Планиметрия 4    Комбинаторная геометрия 1    Комбинаторика 1    Теория графов 1    Методы 7    Принцип Дирихле 1    Инварианты и полуинварианты 1    Алгебраические методы 4    Геометрические методы

5 класс

1. Как можно получить число 100 используя десять двоек, скобки и знаки арифметических действий.

2. Как отмерить 4 л воды, находясь около реки и имея два ведра вместимостью 5л и 3 л.

 

3. Во дворе бабушки Вали козы и куры. Всего ног 52, голов 20. Угадайте сколько коз у бабы Вали?

 

4. Восстановите запись:  КРОСС + КРОСС = СПОРТ. (Одинаковые буквы заменить на одинаковые цифры, разные буквы – на разные цифры)

 

5. В классе 26 учеников, из них более половины – мальчики. Докажите, что какие – то 2 мальчика сидят за одним столом. ( В классе 13 столов).

 

(ЗА КАЖДОЕ ПРАВИЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ МАКСИМАЛЬНАЯ ОЦЕНКА – 7 БАЛЛОВ)

 

 

 

 

 

6 класс

1. Как можно получить число 100 используя шесть  двоек, скобки и знаки арифметических действий.

 

2. Как отмерить 8 л воды, находясь около реки и имея два ведра вместимостью 10л и 6 л.

 

3. Во дворе бабушки Вали козы и куры. Всего ног 52, голов 20. Угадайте сколько кур у бабы Вали?

 

4. Наташа и Инна купили по одинаковой коробке чая в пакетиках. Известно, что одного пакетика хватает на две или три чашки чая. Этой коробки Наташе хватило на 41 чашку чая, а Инне – на 58. сколько пакетиков было в коробке?.

 

5 Решите числовой ребус: УДАР + УДАР = ДРАКА (Одинаковые буквы заменить на одинаковые цифры, разные буквы – на разные цифры)

 

 

(ЗА КАЖДОЕ ПРАВИЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ МАКСИМАЛЬНАЯ ОЦЕНКА – 7 БАЛЛОВ)

 

 

 

 

 

 

 

 

7 класс.

1. 1. Как можно получить число 100 используя десять пятёрок, скобки и знаки арифметических действий.

 

2 В классе 29 учеников. Петя Иванов сделал в диктанте 13 ошибок, остальные – меньше. Докажите, что в классе найдётся, по крайней мере, 3 ученика, сделавших ошибок поровну.

 

3. Четверо ребят – Алексей, Борис, Владимир и Григорий участвовали в лыжных гонках. На следующий день на вопрос, кто какое место занял, они ответили так:

Алексей: Я не был ни первым и ни последним;

Борис: Я не был последним;

Владимир: Я был первым;

Григорий: Я был последним.

Известно, что три из этих ответов были правдивыми, а один – ложью. Кто сказал правду? Кто был первым?

4. Велосипедист проехал    пути и ещё 40 км, и ему осталось 0,75 пути без 118км. Как велик путь?

 

5.     Чему равен угол между часовой и минутной стрелкой?                                      

 

(ЗА КАЖДОЕ ПРАВИЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ МАКСИМАЛЬНАЯ ОЦЕНКА – 7 БАЛЛОВ)

 

 

 

8 класс

1. Решите уравнение: Iх- 2013 I= 5

2. Велосипедист проехал   пути и ещё 40 км, и ему осталось 0,75 пути без 118км. Как велик путь?

 

3. АВС – равнобедренный треугольник с основанием ВС. Угол А = 27⁰. Точка D симметрична точке В относительно А. Чему равен угол ВСD.

 

4. Каково отношение площади закрашенной части к белой? (Вершины всех квадратов за исключением самого большого находятся в серединах соответствующих сторон)

5.  Вася задумал два числа. Их сумма равна произведению и равна их частному. Какие числа задумал Вася?

 

(ЗА КАЖДОЕ ПРАВИЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ МАКСИМАЛЬНАЯ ОЦЕНКА – 7 БАЛЛОВ)

 

 

9 класс

1. Найдите наименьшее значение  выражения и значения х и у , при которых оно достигается I4х+у+2 I + I3х+2у+1I

 

2. Решите уравнение х⁴ +2013х²- 2014 =0.

 

3.В выпуклом четырёхугольнике АВСD точка Е – пересечение диагоналей. Известно, что площади треугольников АВЕ и СDЕ равны между собой, диагональ АС является биссектрисой угла А, АВ =4. Найти ВС.

 

4. Вася задумал два числа. Их сумма равна произведению и равна их частному. Какие числа задумал Вася?

 

 

 

5. Сравните числа  и 

 

(ЗА КАЖДОЕ ПРАВИЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ МАКСИМАЛЬНАЯ ОЦЕНКА – 7 БАЛЛОВ)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                        Решения и ответы

 

5 класс

1. Как можно получить число 100 используя десять двоек, скобки и знаки арифметических действий.

Ответ:  одно из решений (777-77) : 7 +7-7 +7 - 7

2. Как отмерить 4 л воды, находясь около реки и имея два ведра вместимостью 5л и 3 л.

 

	1 шаг	2  шаг	3 шаг	4 шаг	5 шаг	6 шаг
5 л	5	2	2	0	5	4
3л	0	3	0	2	2	3

 

3. Во дворе бабушки Вали козы и куры. Всего ног 52, голов 20. Угадайте сколько коз у бабы Вали?

Ответ: 6  коз

4. Восстановите запись:  КРОСС + КРОСС = СПОРТ. (Одинаковые буквы заменить на одинаковые цифры, разные буквы – на разные цифры)

Ответ: 35977+35977= 71954

 

5. В классе 26 учеников, из них более половины – мальчики. Докажите, что какие – то 2 мальчика сидят за одним столом. ( В классе 13 столов).

Решение. Если даже предположить, что мальчиков 14 девочек – 12, то  двенадцать мальчиков могут сидеть с девочками, а два мальчика остаются без пары, и придётся сесть за парту рядом.

 

 

 

6 класс

1. Как можно получить число 100 используя шесть  двоек, скобки и знаки арифметических действий.

Возможное решение: (222-22) :2 +2-2+2-2

2. Как отмерить 8 л воды, находясь около реки и имея два ведра вместимостью 10л и 6 л.

	1 шаг	2  шаг	3 шаг	4 шаг	5 шаг	6 шаг
10 л	10	4	4	0	10	8
6л	0	6	0	4	4	6

 

3. Во дворе бабушки Вали козы и куры. Всего ног 52, голов 20. Угадайте сколько кур у бабы Вали?

Ответ:14 кур.

4. Наташа и Инна купили по одинаковой коробке чая в пакетиках. Известно, что одного пакетика хватает на две или три чашки чая. Этой коробки Наташе хватило на 41 чашку чая, а Инне – на 58. Сколько пакетиков было в коробке?.

Ответ:20

Решение

5 Решите числовой ребус: УДАР + УДАР = ДРАКА (Одинаковые буквы заменить на одинаковые цифры, разные буквы – на разные цифры)

 ( 8126 и проверить 5621)

 

 

 

7 класс.

1. 1. Как можно получить число 100 используя десять пятёрок, скобки и знаки арифметических действий.

Возможное решение: (555 – 55) : 5 +5-5+5-5

 

2 В классе 29 учеников. Петя Иванов сделал в диктанте 13 ошибок, остальные – меньше. Докажите, что в классе найдётся, по крайней мере, 3 ученика, сделавших ошибок поровну.

Решение. Если предположить обратное, то количество ошибок может быть от 0 до 12. Всего тринадцать возможных исходов. Рассмотрим как 13 групп,  и если в каждой группе только по два ученика, а учеников без Пети  - 28,  28 >13 x 2 . Остаются ещё два ученика, которые должны войти в какую - то группу.      

3. Четверо ребят – Алексей, Борис, Владимир и Григорий участвовали в лыжных гонках. На следующий день на вопрос, кто какое место занял, они ответили так:

Алексей: Я не был ни первым и ни последним;

Борис: Я не был последним;

Владимир: Я был первым;

Григорий: Я был последним.

Известно, что три из этих ответов были правдивыми, а один – ложью. Кто сказал правду? Кто был первым?

Решение. Предположим, что солгал Алексей. Тогда получается, что он был первым или последним. Тогда солгали ещё Владимир и или Григорий, что противоречить условию. Пусть солгал Борис. Тогда он был последним. Но Григорий утверждал, что он был последним. Значит, предположение не верно. Пусть солгал Владимир. Тогда он не был первым. В этом случае условия задачи  выполняются. Ответ: правду сказали Алексей, Борис, Григорий. Первым был Борис.

4. Велосипедист проехал    пути и ещё 40 км, и ему осталось 0,75 пути без 118км. Как велик путь?

5.     Чему равен угол между часовой и минутной стрелкой?                                      

Решение Круг  - 360⁰. Всего  12 делений, каждое деление = 30⁰. На рисунке видно, что угол между стрелками = 2,5 делений. Тогда угол равен 2,5* 30⁰ = 75⁰

 

8 класс

1. Решите уравнение: Iх- 2013 I= 5

Решение:

Х= 2018, 2008

2. Велосипедист проехал   пути и ещё 40 км, и ему осталось 0,75 пути без 118км. Как велик путь?

Решение.

Пусть х – данное расстояние. Получим уравнение 7/15 х + 40 +0,75х – 118 = х.

Ответ: 360 км

 

3. АВС – равнобедренный треугольник с основанием ВС. Угол А = 27⁰. Точка D симметрична точке В относительно А. Чему равен угол ВСD.

Ответ: 13,5⁰

4. Каково отношение площади закрашенной части к белой? (Вершины всех квадратов за исключением самого большого находятся в серединах соответствующих сторон)

Ответ: 5 : 3

Решение. Рассмотрим четвертинку данного рисунка , разобьём на равные треугольники.

5.  Вася задумал два числа. Их сумма равна произведению и равна их частному. Какие числа задумал Вася?

Ответ:  -1; 0,5;

 

 

9 класс

1. Найдите наименьшее значение  выражения и значения х и у , при которых оно достигается I4х+у+2 I + I3х+2у+1I

Ответ: наименьшее значение =0, х=-0,6 и у=0,4

Решение. Сумма неотрицательных  слагаемых больше или равна 0.

Наименьшее значение =0, и оно достигается если: I4х+у+2 I=0 и I3х+2у+1I =0

 

2. Решите уравнение х⁴ +2013х²- 2014 =0.

Ответ: -2014;1

 Решение.  По теореме Виета  х₁+х₂=-2013, х₁*х₂ = -2014. Один из корней =1, тогда второй  = -2014

3.В выпуклом четырёхугольнике АВСD точка Е – пересечение диагоналей. Известно, что площади треугольников АВЕ и СDЕ равны между собой, диагональ АС является биссектрисой угла А, АВ =4. Найти ВС.

Ответ:4.

Решение

 S_ABE = S_CDE    тогда S_ABD = S_CDA. Значить ADII BC, и  ABCD – трапеция. Угол ВСА  равен углу САD, а по условию  АС – биссектриса. Следовательно угол ВСА равен углу ВАС и ВС = АВ =4 .

 4. Вася задумал два числа. Их сумма равна произведению и равна их частному. Какие числа задумал Вася?

Ответ:  -1; 0,5;